3) Définitions et types de jeux

Le but de cette page est de voir comment théoriser de nombreux conflits , nous allons donc définir les notions principales de la théorie des jeux.

3.1) Définitions

a) La théorie des jeux :

Tout d'abord la théorie des jeux est une représentation mathématique des conflits entre personnes ou d'un groupe de personnes (appelés joueurs) à l'intérieur d'un jeu (que l'on définira plus tard).

Comme toute théorie celle ci se base sur un axiome:

la rationalité du comportement des participants

C'est à dire le fait que les joueurs vont avoir pour objectif a chaque coup de satisfaire leurs intérêts, de maximiser leurs gains. Cela implique le fait qu'en théorie des jeux le but n'est pas de battre l'adversaire mais de marquer le plus de points possibles.

On peut prendre quelques exemples de théorie de jeux comme les jeux de cartes, la stratégie militaire, économique, sociale...

Le principe de dualité apparaît ici clairement entre les protagonistes.

b) Un jeu :

Dans la vie courante on pourrait définir un jeu comme un conflit entre plusieurs individus soumis à des règles se caractérisant par:

· l'ensemble de joueurs

· les règles du jeu

· les informations disponibles (nombre de joueurs, les règles, les préférences de chacun des joueurs et les informations dont disposent les autres joueurs)

Par exemple les problèmes politiques, diplomatiques, la sélection des espèces... en effet ces quelques exemples peuvent représenter des jeux avec respectivement comme joueurs les candidats, les pays, le caryotype), comme règle (les meeting, les visites, les croisements et mutations) et comme informations disponibles pour l'exemple politique on connaît le nombre de candidats, les règles, mais pas forcément les préférences ainsi que les informations dont disposent les autres candidats pour l'exemple diplomatique on connaît le nombre de pays impliqués, les règles, mais pas forcément les préférences ainsi que les informations dont disposent les autres pays pour l'exemple de la sélection des espèces on connaît les règles, mais pas les préférences le nombre de caryotypes ainsi que les informations dont disposent les autres caryotypes.

En théorie des jeux un jeu se définit par un triplet avec :

• N l'ensemble des joueurs

• l'ensemble des stratégies pouvant être adoptées par les joueurs

• l'ensemble des gains possibles aussi appelés règlements

Cela permet de formaliser la notion de jeu et la rendre utilisable dans de nombreux contextes, politique, société, stratégie militaire, concurrence commerciale...

c) L'utilité :

On a défini le jeu par un triplet (joueurs stratégies gains) mais il faut bien relier à un moment ou à un autre les stratégies aux actions (c'est l'objectif de la fonction d'utilité aussi appelée gain). Cette fonction va permettre de représenter les intérêts des joueurs. Dans la vie courant elle va aussi bien représenter l'argent gagné au cour d'un jeu que le nombre de voix d'un parti politique , la victoire d'un joueur...

Exemple:Le jeu: pierre/feuille/ciseaux à une manche

Le nombre de joueurs est de deux

S1 (respectivement S2) l'ensemble des stratégies du joueur 1 (respectivement l'ensemble des stratégies du joueur 2) S1 (et S2) : S1=S2={{pierre};{feuille};{ciseaux}}

G l'ensemble des gains possibles: G= {(0;0),(0;1);(1;0)}

Soit f la fonction de gain f: S1 * S2 → G

Les différents gains possibles sont exprimés par la matrice suivante :

3.2) Types de jeux

a) Quelques types de jeux (au niveau de l'information disponible) :

· Les jeux à information parfaite: On connaît tous les déplacements des autres joueurs. Exemple: le jeu de dames, les échecs..

· Les jeux à information partielle: On ne connaît pas tout les déplacements des autres joueurs Exemple: le poker, le bridge...

b) Deux façons de représenter les gains :

Forme stratégique ou normale:

Si pour toutes les stratégies possibles on connaît tous les règlements possibles alors l'union de l'ensemble des joueurs, de l'ensemble des stratégies et des utilités constitue la forme normale (ou stratégique) d'un jeu (par opposition à la forme extensive vue plus loin). Pour des jeux simples (N = 2 ou N = 3), on représente souvent la forme normale à l'aide d'une matrice de gains. On peut prendre pour exemple le jeu "pierre-feuille-ciseaux".

Forme extensive ou étendue:

Un jeu est sous forme extensive si l'on peut construire à partir de l'ensemble des joueurs, des stratégies et des gains, un arbre représentant les gains: l'arbre de jeu. Par exemple si on prend le jeu

pierre feuille ciseaux et que l'on s'arrête à une manche, et que l'on limite le choix à pierre ou feuille (le jeu est alors très limité mais sa représentation en est alors possible sous forme d'un arbre simple), on obtient :

La barre verticale signifie que les joueurs jouent simultanément.

c) Deux grandes classes de stratégies :

Stratégie pure:

Une stratégie pure décrit exactement ce que fait un joueur du début à la fin du jeu, il n'y a pas de probabilités.

Stratégie mixte:

Une stratégie mixte pour le joueur i est la distribution de probabilité sur Si. Dans l'exemple du jeu de pierre-feuille-ciseaux, jouer au hasard pierre avec probabilité 1/6, feuille avec probabilité 1/3 et ciseaux avec probabilité 1/2 constitue une stratégie mixte.

Cette petite présentation permet de mieux visualisez les différentes notations employées pour les stratégies pures et mixtes.